✦ Analiză Matematică · Limite

Cum se aproximează π

Cu cât poligonul are mai multe laturi, cu atât perimetrul lui se apropie de circumferința cercului - și rezultatul se apropie de π.

Metoda exhaustiunii - Arhimede din Siracuza, ~250 î.Hr.

6 laturi
Perimetru poligonCircumferință cerc
95.4930%
6
3∞
Cu 6 laturi, obținem ~3.0 - prima cifră a lui π. Latura hexagonului înscris e egală cu raza cercului, deci perimetrul = 6r, iar perimetrul / diametru = 3. Un calcul fără radicali. De aici a pornit Arhimede.
Perimetru / 2
3.00000000000000
π Real
3.1415926535897932
Precizie
95.492966%
Zecimale corecte
0
Cu 6 laturi, perimetrul poligonului împărțit la 2 dă 3.00000000.
Precizia față de π real: 95.492966%.
Cum a calculat Arhimede

Fără trigonometrie - aceea nu exista. Arhimede a folosit doar Teorema lui Pitagora: la fiecare dublare a laturilor, calcula lungimea noii laturi dintr-un radical complicat. Radicali din radicali, în fracții întregi, pagini întregi de calcule de mână. Rezultatul final, la 96 de laturi: 3 + 10/71 < π < 3 + 10/70. Două zecimale corecte. Probabil săptămâni de muncă.

De ce contează

Această metodă este prima demonstrație riguroasă a ideii de limită - o cantitate finită care tinde spre ceva ce nu poate fi atins exact, dar poate fi aproximat oricât de precis. Aceeași idee stă la baza întregii Analize Matematice: derivate, integrale, serii. Arhimede a anticipat calculul infinitezimal cu aproape 1800 de ani înainte de Newton și Leibniz.